E in R

Die Eulersche Zahl, geschrieben als e, beträgt ungefähr 2,71828. In R berechnen Sie sie direkt mit exp(1): exp() potenziert e mit dem angegebenen Wert. Bei einer Eingabe von 1 ergibt sich daher e. Die angezeigten Ziffern sind eine gerundete Darstellung des Ergebnisses.

e direkt mit exp(1) berechnen

Verwenden Sie exp(1), wenn Sie in einer Berechnung die Eulersche Zahl benötigen. Dieses kurze R-Beispiel zeigt außerdem, wie sich dieselbe Funktion auf mehrere Eingaben anwenden lässt.

e_value <- exp(1)
inputs <- c(0, 1, 2)
values <- exp(inputs)
print(e_value)
print(values)

Der Aufruf mit einem einzelnen Wert ergibt e. Bei einem numerischen Vektor verarbeitet exp() jedes Element einzeln: Die Werte entsprechen e hoch 0, e hoch 1 und e hoch 2. Verwenden Sie exp(1), wenn Sie e selbst benötigen; mit einer anderen Eingabe berechnen Sie eine andere Potenz.

exp() auf Zahlen und Vektoren anwenden

exp(x) berechnet für jeden Wert in x eˣ. Beispielsweise ist exp(2) gleich e zum Quadrat, und exp(c(0, 1, 2)) gibt einen Vektor mit derselben Länge wie die Eingabe zurück. Dank dieser Vektorisierung können Sie numerische Daten ohne Schleife umwandeln.

e mit der Taylor-Reihe approximieren

Die Taylor-Reihe an der Stelle 1 lautet e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ⋯. Eine endliche Summe nähert e an, ist aber nicht exakt gleich der unendlichen Reihe. In diesem Beispiel addiert die Schleife die Terme von 0 bis 20, einschließlich 1/0! = 1.

terms <- 0:20
approximation <- sum(1 / factorial(terms))
print(approximation)

Weitere Terme verbessern die Näherung im Allgemeinen. Wenn Sie lediglich den Wert benötigen, ist exp(1) jedoch die einfachere Wahl.

e mit der Grenzwertdefinition approximieren

Eine weitere Definition lautet e = limₙ→∞ (1 + 1/n)ⁿ. Für einen endlichen Wert n liefert der Ausdruck eine Näherung. Mit wachsendem n nähert sich der mathematische Ausdruck e an. Aufgrund der Gleitkommaarithmetik garantiert ein beliebig großer Wert jedoch kein genaueres Ergebnis.

n <- 10000
approximation <- (1 + 1 / n)^n
print(approximation)

Dieses Beispiel wertet den Ausdruck für einen einzelnen endlichen Wert n aus. Es veranschaulicht den Grenzwert, berechnet ihn aber nicht exakt.

expm1() für eˣ − 1 verwenden

Verwenden Sie expm1(x), wenn Sie eˣ − 1 berechnen möchten. Die Funktion bildet diesen Ausdruck direkt für einen einzelnen Wert oder einen numerischen Vektor ab. Das ist hilfreich, wenn Ihre Berechnung genau diese Differenz benötigt. Beispielsweise ergibt expm1(1) den Wert e − 1; expm1(c(0, 1, 2)) wendet dieselbe Operation auf jedes Element an.

x <- c(0, 1, 2)
result <- expm1(x)
print(result)

Den passenden Ansatz wählen

Für gewöhnliche Berechnungen in R verwenden Sie exp(1), um die Eulersche Zahl zu erhalten, und exp(x), um eˣ zu berechnen. Die Taylor-Reihe oder den Grenzwertausdruck können Sie nutzen, wenn Sie die mathematischen Definitionen veranschaulichen möchten; beide Beispiele liefern endliche Näherungen. Wählen Sie expm1(x), wenn Sie eˣ − 1 benötigen.

Die Eulersche Zahl ist die Basis des natürlichen Logarithmus und kommt in Modellen für kontinuierliches Wachstum und Zerfall vor. In R gibt es die Funktion exp() statt einer separaten eingebauten Konstante für e: Der Ausdruck exp(1) ist ein Funktionsaufruf. Die R-Codebeispiele sind ausführbar und wurden erfolgreich ausgeführt; eine Ausgabe ist hier nicht abgebildet.