R 中的欧拉数 e

欧拉数记作 e，约为 2.71828。在 R 中，可以用 exp(1) 直接计算：exp() 会将 e 提升到给定的幂，因此输入 1 就会得到 e。显示的数字是经过四舍五入的结果。

直接使用 exp(1) 计算 e

计算中需要欧拉数时，使用 exp(1)。下面这个简短的 R 示例也展示了如何用同一个函数处理多个输入。

e_value <- exp(1)
inputs <- c(0, 1, 2)
values <- exp(inputs)
print(e_value)
print(values)

对单个数调用函数会得到 e。对于数值向量，exp() 会逐个处理元素：结果分别对应 e 的 0 次方、1 次方和 2 次方。只需要 e 本身时，请使用 exp(1)；输入其他值会计算相应的幂。

对数值和向量应用 exp()

exp(x) 会为 x 中的每个值计算 eˣ。例如，exp(2) 是 e 的平方，而 exp(c(0, 1, 2)) 会返回一个与输入长度相同的向量。这种向量化行为让你无需编写循环，就能转换数值数据。

用泰勒级数近似 e

在 1 处展开的泰勒级数为 e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ⋯。有限项求和只能近似 e，并不等于无穷级数本身。这个示例中的循环会累加从 0 到 20 的各项，包括 1/0! = 1。

terms <- 0:20
approximation <- sum(1 / factorial(terms))
print(approximation)

通常，增加项数会提高近似精度；但如果只需要 e 的值，exp(1) 更简单。

用极限定义近似 e

另一种定义是 e = limₙ→∞ (1 + 1/n)ⁿ。对于有限的 n，这个表达式给出的是近似值。随着 n 增大，数学表达式会趋近 e；但由于浮点运算的影响，任意增大 n 并不能保证结果更准确。

n <- 10000
approximation <- (1 + 1 / n)^n
print(approximation)

这个示例计算的是某个有限 n 对应的表达式，用来说明极限，而不是精确求出极限值。

需要 eˣ − 1 时使用 expm1()

需要计算 eˣ − 1 时，可以使用 expm1(x)。它能直接计算这个表达式，适用于单个数或数值向量；当计算所需的正是这个差值时，这种写法很有用。例如，expm1(1) 得到 e − 1，而 expm1(c(0, 1, 2)) 会对每个输入执行相同的运算。

x <- c(0, 1, 2)
result <- expm1(x)
print(result)

选择合适的方法

在常规 R 计算中，用 exp(1) 获取欧拉数，用 exp(x) 计算 eˣ。若要展示数学定义，可以使用泰勒级数或极限表达式；这两个示例计算的都是有限近似值。目标是 eˣ − 1 时，则使用 expm1(x)。

欧拉数是自然对数的底数，也会出现在连续增长和衰减模型中。R 提供 exp() 函数，并没有单独的内置常量表示 e：表达式 exp(1) 是一次函数调用。这些 R 代码示例均可运行，并且已成功执行；此处不显示输出。