MATLAB norm() 函数

MATLAB 的 norm() 用于计算向量或矩阵的大小。默认计算方式取决于输入：向量使用 2-范数，矩阵使用矩阵 2-范数，也称谱范数。需要其他度量时，可显式指定阶数或选项。若要分别计算各行或各列的范数，请使用 vecnorm()。

MATLAB 的 norm() 语法和默认行为

默认计算可写为 n = norm(X)；要选择范数阶数，使用 n = norm(X,p)；要计算矩阵的 Frobenius 范数，使用 n = norm(X,"fro")。X 是输入向量或矩阵。p 的含义取决于 X 是向量还是矩阵，因此相同的阶数不一定表示相同的计算方式。

对于向量，norm(v) 等同于 norm(v,2)。对于矩阵，norm(A) 等同于 norm(A,2)：它返回最大奇异值，而不是 Frobenius 范数。要计算 Frobenius 范数，必须显式指定 "fro"。

选择向量范数

对于向量 v，当 p 为正有限值时，p-范数是将各元素绝对值分别取 p 次方、求和后再取 p 次方根。常见选择包括 norm(v,1)（绝对值之和）、norm(v,2)（欧几里得长度）和 norm(v,Inf)（最大绝对值）。省略 p 时默认使用 2-范数。

如果关注绝对值的总和，可使用 1-范数；如果关注欧几里得长度，可使用 2-范数；如果尺度由最大分量决定，可使用无穷范数。这些范数从不同角度概括同一个向量，应根据计算需求选择。例如，分量为 3 和 4 的向量，其 1-范数为 7、2-范数为 5、无穷范数为 4。

选择矩阵范数

对于矩阵 A，MATLAB 可通过 norm(A,p) 计算 1-范数、2-范数和无穷范数；这些范数的定义与向量范数不同。矩阵 1-范数是各列绝对值之和中的最大值。矩阵 2-范数是最大奇异值，也是默认值。矩阵无穷范数是各行绝对值之和中的最大值。要计算 Frobenius 范数，请使用 norm(A,"fro")；其值是所有元素绝对值平方之和的平方根。

例如，对于 A = [1 2; 3 4]，1-范数为 6，无穷范数为 7。Frobenius 范数为 30 的平方根，而 2-范数是最大奇异值，约为 5.465。不要把 norm(A) 的结果当作矩阵的 Frobenius 范数；要计算后者，请指定 "fro"。

运行示例并查看结果

运行以下示例：

本节中的代码以及显示的标签或输出仍为英文。

v = [3 4];
A = [1 2; 3 4];
fprintf('vector 2-norm: %.1f\n', norm(v));
fprintf('matrix default (2-norm): %.4f\n', norm(A));
fprintf('matrix 1-norm: %.1f\n', norm(A, 1));
fprintf('matrix infinity-norm: %.1f\n', norm(A, Inf));
fprintf('matrix Frobenius norm: %.4f\n', norm(A, "fro"));

vector 2-norm: 5.0
matrix default (2-norm): 5.4650
matrix 1-norm: 6.0
matrix infinity-norm: 7.0
matrix Frobenius norm: 5.4772

向量的结果是其欧几里得长度。对于矩阵，默认阶数和显式指定阶数 2 都会返回谱范数；其余各行分别显示最大列绝对值之和、最大行绝对值之和，以及显式请求的 Frobenius 范数。这些数值有助于确认计算使用了哪种定义。

使用 vecnorm() 计算各行或各列的范数

norm() 为整个输入返回一个范数。若要分别计算每一列或每一行的范数，请调用 vecnorm(X,p,dim)。参数 dim 指定计算所沿的维度。对于二维矩阵，维度 1 表示沿每一列向下计算，并为每列返回一个值；维度 2 表示沿每一行计算，并为每行返回一个值。如果省略该参数，vecnorm() 会使用第一个非单例维度；对于普通矩阵，这意味着按列计算。

例如，使用 vecnorm(A,2,1) 可计算每列的 2-范数，使用 vecnorm(A,2,2) 可计算每行的 2-范数。按维度计算范数应使用此操作；给 norm() 添加维度参数并不能实现按行或按列计算。要为整个向量或矩阵计算一个范数，请使用 norm()；若要沿某个维度为每个切片分别计算范数，请使用 vecnorm()。