MATLAB norm() 函式

MATLAB norm() 用來計算向量或矩陣的大小。預設行為取決於輸入：向量使用 2 範數，矩陣則使用矩陣 2 範數，也稱為譜範數。若需要其他度量，請明確指定階數或選項。若要分別計算各列或各欄的範數，請使用 vecnorm()。

MATLAB norm() 的語法與預設行為

使用 n = norm(X) 採用預設值，使用 n = norm(X,p) 指定階數，或使用 n = norm(X,"fro") 明確要求計算矩陣的 Frobenius 範數。X 是輸入向量或矩陣。p 的意義取決於 X 是向量還是矩陣，因此相同的階數不一定代表相同的計算方式。

對向量而言，norm(v) 等同於 norm(v,2)。對矩陣而言，norm(A) 等同於 norm(A,2)：它會回傳最大奇異值，而非 Frobenius 範數。若要計算矩陣的 Frobenius 範數，必須明確指定 "fro"。

選擇向量範數

對向量 v 而言，正的有限 p 所對應的 p 範數，是將各元素絕對值的 p 次方加總後，再取 p 次方根。常見選擇包括 norm(v,1)（絕對值總和）、norm(v,2)（歐幾里得長度），以及 norm(v,Inf)（最大絕對值）。省略 p 時會採用 2 範數。

若要衡量絕對值總和，可使用 1 範數；若要表示歐幾里得長度，可使用 2 範數；若尺度由最大分量決定，則可使用無窮範數。這些範數以不同方式概括同一個向量，請依計算需求選擇。例如，分量為 3 和 4 的向量，其 1 範數為 7、2 範數為 5，無窮範數為 4。

選擇矩陣範數

對矩陣 A 而言，MATLAB 可透過 norm(A,p) 計算 1、2 與無窮範數；這些範數的定義與向量範數不同。矩陣 1 範數是各欄絕對值總和中的最大值。矩陣 2 範數是最大奇異值，也是預設值。矩陣無窮範數是各列絕對值總和中的最大值。使用 norm(A,"fro") 可明確要求計算矩陣的 Frobenius 範數，也就是所有元素絕對值平方總和的平方根。

例如，對 A = [1 2; 3 4] 而言，1 範數為 6，無窮範數為 7。Frobenius 範數是 30 的平方根，而 2 範數是最大奇異值（約為 5.465）。不要從 norm(A) 推斷矩陣的 Frobenius 範數；請用 "fro" 明確指定。

執行範例並解讀結果

執行以下範例：

本節中的程式碼以及顯示的標籤或輸出仍為英文。

v = [3 4];
A = [1 2; 3 4];
fprintf('vector 2-norm: %.1f\n', norm(v));
fprintf('matrix default (2-norm): %.4f\n', norm(A));
fprintf('matrix 1-norm: %.1f\n', norm(A, 1));
fprintf('matrix infinity-norm: %.1f\n', norm(A, Inf));
fprintf('matrix Frobenius norm: %.4f\n', norm(A, "fro"));

vector 2-norm: 5.0
matrix default (2-norm): 5.4650
matrix 1-norm: 6.0
matrix infinity-norm: 7.0
matrix Frobenius norm: 5.4772

向量的結果是其歐幾里得長度。對矩陣而言，預設呼叫與明確指定階數 2 都會回傳譜範數；其他幾行則分別顯示最大欄絕對值總和、最大列絕對值總和，以及明確指定的 Frobenius 範數。這些數值有助於確認計算採用哪一種定義。

使用 vecnorm() 計算各列或各欄的範數

norm() 會回傳整個輸入的一個範數。若要分別取得各欄或各列的範數，請呼叫 vecnorm(X,p,dim)。dim 引數指定要沿著哪個維度計算。對二維矩陣而言，維度 1 會沿每一欄向下計算，並為每欄回傳一個值；維度 2 會沿每一列計算，並為每列回傳一個值。若省略此引數，vecnorm() 會使用第一個非單一維度；對一般矩陣而言，這表示各欄。

例如，使用 vecnorm(A,2,1) 計算每一欄的 2 範數，使用 vecnorm(A,2,2) 計算每一列的 2 範數。這是逐維度計算的方式；在 norm() 中加入維度引數，並不能用來要求逐列或逐欄範數。若只需要整個向量或矩陣的一個度量，請選擇 norm()；若結果需要包含沿某個維度切片後各部分的範數，則使用 vecnorm()。