在 Python 中计算反余弦

反余弦（也称 arccos）用于求出余弦值为给定数值时对应的主值角。它是余弦函数的反函数，而不是余弦的倒数（1 / cos(x)）。在 Python 中，单个数值可使用 math.acos()，数组计算可使用 numpy.arccos()。这两个函数返回的角度单位都是弧度。

使用 math.acos() 计算单个值

标准库函数 math.acos() 接受一个介于 -1 和 1 之间（包括两端）的实数。例如，余弦值 0.5 对应的角度是 π/3 弧度，也就是 60 度。

运行以下示例：

本节中的代码以及显示的标签或输出仍为英文。

import math

cosine_value = 0.5
angle_radians = math.acos(cosine_value)
print(angle_radians)

1.0471975511965979

此示例会输出弧度值。返回结果约为 1.0472，即 π/3。反余弦的主值范围是 0 到 π 弧度。

将结果从弧度转换为角度

使用 math.degrees() 转换结果；degrees() 是 math 模块中的函数，并非独立的内置函数。格式化设置决定显示的小数位数，底层浮点数仍保留其通常的精度。

本节中的代码以及显示的标签或输出仍为英文。

import math

cosine_value = 0.5
angle_radians = math.acos(cosine_value)
angle_degrees = math.degrees(angle_radians)
print(f"{angle_degrees:.1f} degrees")

60.0 degrees

此示例将角度显示到小数点后一位。结果中的单位标签 degrees 保持英文。调整 .1f 中的数字，即可设置格式化文本显示的小数位数。

使用 numpy.arccos() 处理数组

NumPy 是第三方软件包，因此运行此示例前，需要先在当前环境中安装它。NumPy 的 arccos 运算会逐个元素处理数组；当输入已经整理为 NumPy 数据时，这种方式很实用。

本节中的代码以及显示的标签或输出仍为英文。

import numpy as np

cosine_values = np.array([0.5, 1.0, -1.0])
angles_radians = np.arccos(cosine_values)
print(angles_radians)

[1.04719755 0.         3.14159265]

结果中的每个输入值都对应一个以弧度表示的角度，依次约为 π/3、0 和 π。NumPy 也能计算单个值的反余弦，但如果只需计算一个标量，使用 math.acos() 会更简单。

输入范围，以及如何选择 math.acos() 或 numpy.arccos()

对于实数反余弦，每个输入值都必须在 -1 到 1 之间（包括两端）。超出此范围的值没有实数反余弦结果。输入越界时，math.acos() 会引发 ValueError。在 NumPy 的常规错误设置下，numpy.arccos() 会对越界元素返回 nan，并发出运行时警告。只有当检查或截断计算出的余弦值符合计算本身的含义时，才应这样处理；截断可能会掩盖上游错误。如果数值来自归一化向量的点积，浮点舍入可能会使结果略微超出该范围。只有确定偏差来自舍入误差时才截断；否则应检查计算过程。对于数组，使用结果前应先检查哪些元素越界。

单个标量适合使用 math.acos()，数组或向量化计算则适合使用 numpy.arccos()。NumPy 不属于 Python 标准库；这里选择它的主要理由是其面向数组的接口。实际性能取决于工作负载，不能保证它对所有输入规模都更快。